线性空间的基、维数、向量

在V中，若存在n个元素\(\alpha_{1}\) \(,\alpha_{2}……\alpha_{n}\)满足 - \(\alpha_{1}\) \(,\alpha_{2}……\alpha_{n}\)线性无关 - V中任意\(\alpha\)可由\(\alpha_{1}\) \(,\alpha_{2}……\alpha_{n}\)表示 则\(\alpha_{1}\) \(,\alpha_{2}……\alpha_{n}\)为V的一个基，n为V的维数。记dim V=n

\(\alpha\)=\(\alpha_{1}x_1\) \(,\alpha_{2}x_2……\alpha_{n}x_3\)

即\[\alpha=(\alpha_{1} ,\alpha_{2}……\alpha_{n}) \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \]

例题：

线性空间的基变换与坐标变换

基变换：(\(\alpha_{1}\) \(,\alpha_{2}……\alpha_{n}\))→过度矩阵P→\(\beta_{1}\) \(,\beta_{2}……\beta_{n}\)

基变换公式：B=AP

坐标变换公式：\(Y\)=\(P^{-1}X\)。\(X\)为原基底下的坐标。

例题：

简单基的应用

简单基可将矩阵和多项式转化为向量

例如\(R^{2*2}\)的简单基为：

\[ E_1=\left[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] ,E_2=\left[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] ,E_3=\left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] ,E_4=\left[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \]

例题一：

例题二：

线性子空间

定理：线性空间V的非空子集W是V的子空间。W对于V中定义的加法与数乘封闭。

  • 若\(\alpha,\beta\)∈W，则\(\alpha+\beta\)∈W
  • 若\(\alpha\)∈W，k∈K，则k\(\alpha\)∈W

线性映射

V自身的线性映射称为线性变换——\(T\)

定义

若任意\(\alpha,\beta\)∈V，k∈K，有 - T(\(\alpha+\beta\))=T(\(\alpha\))+T(\(\beta\)) - T(k\(\alpha\))=kT(\(\alpha\))

例题：

线性变换的矩阵

\[ \begin{equation*} \begin{bmatrix} a11 & a12 & \cdots & a1n\\ a21 & a22 & \cdots & a2n\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ an1 & an2 & \cdots & ann \end{bmatrix} \end{equation*}=A \]称A为T在基(\(\alpha_{1}\) \(,\alpha_{2}……\alpha_{n}\))下的矩阵。

T(\(\alpha_{1}\) \(,\alpha_{2}……\alpha_{n}\))=(T(\(\alpha_1\)),(\(\alpha_2\))……T(\(a_n\)))= \[ (\alpha_{1} ,\alpha_{2}……\alpha_{n}) \begin{equation*} \begin{bmatrix} a11 & a12 & \cdots & a1n\\ a21 & a22 & \cdots & a2n\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ an1 & an2 & \cdots & ann \end{bmatrix} \end{equation*} \]

Y=AX表示同一组基下\(\alpha\)和\(T(\alpha)\)的坐标关系。

同一个T在不同基下的矩阵是相似的。\(B=P^{-1}AP\)

例题: