例题： \[ \begin{bmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 11& -1 \\ 6&3&12 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 20\\ 33\\ 36 \end{pmatrix} \]

精确解：x*=(3,2,1)'

可以记作： [ A = ] 其中， [ A = \[\begin{bmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 11 & -1 \\ 6 & 3 & 12 \end{bmatrix}\] , = \[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\] , = \[\begin{pmatrix} 20 \\ 33 \\ 36 \end{pmatrix}\]

]

雅可比迭代法

首先将矩阵 \(A\) 分解为对角矩阵 \(D\)、下三角矩阵 \(L\) 和上三角矩阵 \(U\)： [ A = D + L + U ] 其中， [ D = \[\begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}\] , L = \[\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 0 \end{bmatrix}\] , U = \[\begin{bmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

]

雅可比迭代法的迭代公式为： [ ^{(k+1)} = D^{-1} ( - (L + U)^{(k)}) ] ### 高斯-赛德尔迭代法

高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式为： [ ^{(k+1)} = (D + L)^{-1} ( - U^{(k)}) ]