四阶龙格-库塔法

标准四阶龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种用于数值解常微分方程（ODE）的高精度方法。下面是四阶龙格-库塔法的公式和解题流程。

四阶龙格-库塔法的公式

四阶龙格-库塔法的迭代公式为：

  1. 计算中间值:
    • ( k_1 = h f(x_n, y_n) )
    • ( k_2 = h f(x_n + , y_n + ) )
    • ( k_3 = h f(x_n + , y_n + ) )
    • ( k_4 = h f(x_n + h, y_n + k_3) )
  2. 更新公式: [ y_{n+1} = y_n + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) ]

解题流程

  1. 定义问题:
    • 给定初值问题： [ = f(x, y), y(x_0) = y_0 ]
  2. 选择步长 ( h ):
    • 选择适当的步长 ( h )（例如，( h = 0.1 )）
  3. 初始化:
    • 设置初始条件 ( x_0 ) 和 ( y_0 )
    • 计算到 ( x_n ) 的范围
  4. 迭代计算:
    • 对每个 ( x_n ) 使用龙格-库塔公式计算 ( y_{n+1} )