欧拉法

考虑初值问题： \[ \frac{dy}{dx} = y - \frac{2x}{y}, \quad y(0) = 1 \] 我们将使用欧拉法来近似求解这个问题。

设步长为 \(h\)，例如 \(h = 0.1\)。初始条件为 \(y(0) = 1\)，计算到 \(x = 1\)。

欧拉法的迭代公式为： [ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) ] 其中，函数 \(f(x_n, y_n)\) 是给定的导数表达式： [ f(x_n, y_n) = ]

根据欧拉法，我们可以进行以下迭代：

计算 \(x_{n+1} = x_n + h\)。 计算 \(y_{n+1} = y_n + h \cdot (y_n - \frac{2x_n}{y_n})\)。

假设初始条件为 \(x_0 = 0\) 和 \(y_0 = 1\)，步长为 \(h = 0.1\)。我们计算前几个步长的结果： \[ \begin{align*} x_1 &= x_0 + h = 0 + 0.1 = 0.1 \\ y_1 &= y_0 + h \cdot \left( y_0 - \frac{2x_0}{y_0} \right) = 1 + 0.1 \cdot \left( 1 - \frac{2 \cdot 0}{1} \right) = 1 + 0.1 \cdot 1 = 1.1 \end{align*} \] \[ \begin{align*} x_2 &= x_1 + h = 0.1 + 0.1 = 0.2 \\ y_2 &= y_1 + h \cdot \left( y_1 - \frac{2x_1}{y_1} \right) = 1.1 + 0.1 \cdot \left( 1.1 - \frac{2 \cdot 0.1}{1.1} \right) \approx 1.1 + 0.1 \cdot \left( 1.1 - 0.1818 \right) \approx 1.1 + 0.1 \cdot 0.9182 \approx 1.1918 \end{align*} \] ··· ## 改进欧拉法 \(y'+y=0\) \(y_{0}=1\) 解： \(y_{n+1}=y_n+h/2(-y_n-y*_{n+1})\)其中\(y*_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)\) 所以\(y_{n+1}=(1-h+h^{2}/2)y_n\) 迭代：\(y_{n+1}=(1-h+h^{2}/2)^ny_0\)