数值分析-矩阵LU分解

问题引入

求解：Ax=b

其中A为矩阵，x和b均为向量。 # LU引入 - Ly=b - Ux=y 即A=LU，通过求解LU即可求得x和b。 # 求解 A=LU \[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}&……&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}&……&a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}&……&a_{3n} \\ ……\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&……&a_{nn} \end{bmatrix} \]

设矩阵 (A) 的 LU 分解为 (A = LU)，其中： \[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ l_{n1} & l_{n2} & l_{n3} & \cdots & 1 \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & \cdots & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & \cdots & u_{2n} \\ 0 & 0 & u_{33} & \cdots & u_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & u_{nn} \end{bmatrix} \]

其中U的第一行和A的第一行相等，L的第一列等于A的第一列除以u11(也就是a11) 依次求出L和U。随后便可求出y和x